la hiperbola

Hipérbola

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curvaabierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatrizrespecto del eje de revolución.¹

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Ecuaciones de la hipérbola[editar] Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas ${\displaystyle (0,0)\,}$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica. ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ Ecuación de una hipérbola con centro en el punto ${\displaystyle (h,k)\,}$ ${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$ Ejemplos: a) ${\displaystyle {\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1}$ b) ${\displaystyle {\frac {(y)^{2}}{9}}-{\frac {(x)^{2}}{25}}=1}$ Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno. Ecuación de la hipérbola en su forma compleja Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos ${\displaystyle z\,}$, en el plano ${\displaystyle ReIm\,}$; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias ${\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,}$, a dos puntos fijos llamados focos${\displaystyle w_{1}\,}$ y ${\displaystyle w_{2}\,}$, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ${\displaystyle 2l\,}$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. La ecuación queda: ${\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,}$ Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos. Ecuaciones en coordenadas polares[editar] Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas cartesianas. Hipérbola abierta de derecha a izquierda:  ${\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}$ Hipérbola abierta de arriba a abajo: ${\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}$ Hipérbola abierta de noreste a suroeste:  ${\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}$ Hipérbola abierta de noroeste a sureste: ${\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}$ Hipérbola con origen en el foco derecho: ${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1-\varepsilon \cos \theta }}}$ Hipérbola con origen en el foco izquierdo: ${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(\varepsilon ^{2}-1)}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$ Ecuaciones paramétricas[editar] Imagen de sección cónica. Hipérbola abierta de derecha a izquierda: ${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}}$ Hipérbola abierta de arriba a abajo: ${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}}$ En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor. Elementos de la hipérbola Eje mayor o real El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario Eje menor o imaginario. El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas. Asíntotas Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r Vértices Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes. Focos Son dos puntos, ${\displaystyle F_{1}\,y\,F_{2}}$, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, ${\displaystyle x}$, de dicha hipérbola. ${\displaystyle \vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =cte}$ Centro Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola. Tangentes La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

elipse

ELIPSE

La elipse es una curva plana, simple y cerrada.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F₁ y F₂ son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F₁F₂, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

${\displaystyle PF_{1}+PF_{2}=2a\,}$

donde ${\displaystyle a\,}$ es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}}$ , con ${\displaystyle (0\leq \varepsilon \leq 1)}$

Dado que ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ , también vale la relación:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {\cfrac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

o el sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon ={\cfrac {c}{a}}\\c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\end{cases}}}$

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.⁵ La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad ${\displaystyle \varepsilon }$, esto es:

${\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}(\varepsilon )=\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=2\tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right);\,\!}$

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectorescorrespondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F₁ y F₂ a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF₁ (color azul) y PF₂ (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF₁ + PF₂ = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\overline {\text{PF}}}{\overline {\text{PD}}}}}$

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad ${\displaystyle \varepsilon }$ de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma. La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como radio a. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse(como se ve en el ejemplo). Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria). La recta t en color cian es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T1, T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales. Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto.

la parabola

LA PARÁBOLA

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a  resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son semejantes,es decir, únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad ${\displaystyle e=1}$. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

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Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y = ax², con a = 4, 1, ¹⁄₄ y ¹⁄₁₀.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y = ax² donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo»Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es ${\displaystyle \,x^{2}=4py}$.

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es: ${\displaystyle \,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$ si y solo si ${\displaystyle \,b^{2}-4ac=0}$ y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.